СОДЕРЖАНИЕ

МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Введем понятие вектора-столбца потенциалов схемы U. Будем отсчитывать потенциалы всех узлов схемы от некоторого базисного узла, который не охвачен ни одним сечением. Тогда вектор-столбец узловых потенциалов

имеет размерность [ν, 1], равную числу узлов схемы без одного, т.е. числу ребер дерева. Вспомним структуру матрицы главных сечений Π[ν, l]. Элементы матрицы П определяют сечения, на которых оканчиваются ветви схемы. При этом число элементов матрицы, отличных от 0 в каждом столбце, всегда равно 2, так как это означает, что ветвь соединяет два узла схемы. Исключения составляют ветви, выходящие из базисного узла, или в него входящие, т.к. для них число отличных от 0 элементов в столбце равно 1.

Таким образом, напряжение на ветви можно характеризовать разностью потенциалов между узлами, причем если ветвь соединяет узлы i и j, то напряжение равно U_в=U_i-U_j; если ветвь выходит из базисного узла схемы, то напряжение на ней равно потенциалу другого узла. Поэтому вектор напряжений на ветвях размерностью [l, 1] можно определить в виде матричного произведения матриц П и U, однако при этом матрица П должна быть предварительно транспонирована т.е.:

[π_ij] = [π_ji].

При этом размер матрицы Π_t=[l,ν], а выражение для напряжений на ветвях схемы имеет вид:

U_в = П_t ● U.

Вспомним выражение для закона Ома для представления ветвей в виде параллельно объединенного источника тока и проводимости:

I_в = Y_в ● U_в + J_в.

Подставляя в указанное выражение значение U_в, выраженное через П_t●U, получим:

I_в = Y_в ● П_t ● U + J_в.

Умножим это уравнение на матрицу П слева:

П ● I_в = П ● Y_в ● П_t ● U + П ● J_в.

По первому закону Кирхгофа в матричном виде:

П ● I_в = 0.

Проведем переобозначения:

П ● Y_в ● П_t = Y J = - П ● J_в.

Здесь Y — квадратная матрица размером [ν, ν], которая получила название матрицы проводимости схемы, вектор J — вектор размера [ν, 1], называющийся вектором задающих токов схемы. Умножим полученное уравнение на Y^-1 слева, получим:

Y ● U = J или U = Y^-1 ● J.

Последнее соотношение реализует метод узловых потенциалов в матричном виде.

Последние соотношения позволяют провести расчет схемы по методу узловых потенциалов, однако, для получения результата необходимо определить значения матриц Y и J. В принципе, задача решается путем двухкратного перемножения матриц Π, Y_в и Π_t, а вектор задающих токов схемы J определяется путем умножения матрицы Π на вектор J_в. Однако такое решение задачи весьма громоздко, т.к. требует выполнения операций с матрицами. Существует формализованный способ построения матриц Y и J, который вытекает из свойств матрицы. Покажем этот способ, а затем докажем его.

1. Можно утверждать, что если схема состоит только из двухполюсников, то матрица Y диагонально симметрична, т.е. для любых k и s, принадлежащих интервалу k, s є [1, ν] справедливо соотношение: y_ks = y_sk (напомним, что размер матрицы Y - [ν, ν], что определяется числом уравнений относительно узловых потенциалов, равного числу сечений схемы на единицу меньшего, чем число узлов).

2. Элемент диагонали y_kk равен сумме проводимости ветвей, пересекаемых k-тым сечением. При этом y_kk называется собственной проводимостью k-го сечения.

3. y_ks — сумма проводимости ветвей, общих для k-го и s-го сечений; y_ks называется взаимной проводимостью k-ого и s-ого сечений.

При этом порядок составления матрицы состоит в следующем: заготавливается квадратная таблица размером ν х ν, т.е. числом строк и столбцов, равным количеству главных сечений. Поочередно рассматриваются все ветви, входящие в схему, и их проводимости вписываются с соответствующим знаком в соответствующие клетки в виде слагаемых. Проводимости ветвей алгебраически суммируются с теми элементами квадратной матрицы, которые расположены на пересечении строк и столбцов, имеющих номер пересекающих данную ветвь главных сечений. При этом знак составляющих взаимной проводимости определяется взаимным расположением главных сечений.

Рассмотрим пример. Допустим, в схеме имеются A, В, C, D сечения. Очередная ветвь проходит через сечения A, C, D, направления которых изображены на рисунке 2.7:

Рис. 2.7. Направления сечений A, C, D схемы

(Можно предположить, что рассматриваемая ветвь является хордой, т.к. через ребро, по определению, проходит лишь одно сечение).

При этом составляющие матрицы Y, соответствующие указанной ветви, имеют вид:

Очевидно, что если ветвь пересекает m сечений, то она вписывается в m² клеток таблицы. Проводимость ребер дерева вписывается в клетки матрицы только один раз.

Вектор задающих токов схемы J — вектор-столбец, k-тая компонента которого равна алгебраической сумме токов, подтекающих к k-тому сечению. Причем знак «+» выбирается в случае, если ток ветви противоположен направлению сечения, а знак «-», если направления сечения и тока совпадают. Рассмотрим пример, основанный на приведенной выше скелетной схеме некоторой цепи рис. 2.8:

Рис. 2.8. Скелетная схема некоторой цепи.

В соответствии с выбранным направлением токов и главных сечений, матрица Y имеет вид:

Вектор задающих токов схемы:

Докажем указанное правило составления матрицы проводимости и вектора задающих токов схемы.

По определению, матрица Υ формируется в соответствии с соотношением:

Y = П ● Y_в ● П_t

Транспонируем обе части матрицы, используя предварительно сочетательный закон:

Y_t = (П ● Y_в ● П_t)_t = ((П ● Y_в) ● П_t)_t = П ● (П ● Y_в)_t = П ● (Y_в)_t ● П_t

Так как матрица Ye диагонально симметрична и диагональна, следовательно У_вt = У_в. При этом, очевидно, что результат перемножения матриц после их транспонирования не изменится, т.е. Y_t = Y. Это означает, что матрица Υ диагонально симметрична. Т.е. первое свойство матрицы доказано. Будем теперь обозначать элементы матрицы буквами π_ks

Диагональный элемент y_kk матрицы Y получается умножением k-ой строки матрицы Π на k-ый столбец матрицы Y_вΠ_t.

В свою очередь, k-ый столбец матрицы Y_вΠ_t получается умножением матрицы Y_в на k-ый столбец матрицы Π_t. В результате элемент Y_kk матрицы Y можно определить в виде:

y_kk = [к стр. П]•[k столб. матр. Y_в• П_t] = [к стр. П]•[Y_в • [k столб. П_t]] =

= [к стр. П] •Y_в • [к стр. П]_t = [π_k1, π_k2, ... π_kl] • Y_в• [π_k1, π_k2, ... π_kl]_t

(строка матрицы Π равна столбцу транспонированной матрицы Π_t). Таким образом, можно записать, что:

y_kk = [π_k1 Y_в1 π_k2 Y_в2 ... π_kl Y_вl] х [π_k1 π_k2 ... π_kl] =

= [π²_k1 Y_в1 + π²_k2 Y_в2 + ... + π²_kl Y_вl] = π²_kl • Y_вi

Таким образом, проводимость k-го сечения определяется суммой проводимостей ветвей, входящих в это сечение со знаком (+), т.к. для всех ветвей входящих в сечение π_ki=±1, т.е. π_ki²=1. Для ветвей, которые в сечения не входят π_ki=0.

Таким образом, второе свойство матрицы Y доказано.

Для недиагональных элементов матрицы Υ — проводимостей между сечениями k и s (где k ≠ s), по аналогии можно записать, что

y_ks = [π_k1, π_k2, ... π_kl] • Y_в• [π_s1, π_s2 ... π_sl]_t

Т.к. матрица Y_в диагональная, то последнее соотношение можно раскрыть в скалярном виде:

y_ks = [π_k1•π_s1 • y_в1 + π_k2•π_s2 • y_в2 + ... + π_ki•π_si • y_вi] = π_ki •π_si • y_вi

Таким образом, стало очевидным и третье свойство матрицы Y:

Произведение π_ki • π_si отлично от нуля лишь для тех ветвей, которые проходят одновременно через два сечения k и s, причем равно +1, если сечения направлены друг относительно друга одинаково, и равно -1, если сечения направлены встречно.

Полученные соотношения также доказывают правильность высказанного утверждения для составления матрицы Y при каноническом виде схемы с общим базисным узлом. Т.е., если сечения выбраны одинаковым образом относительно узлов схемы (например, все — наружу), то при определении взаимных проводимостей сечений знак проводимостей ветвей всегда отрицателен.

Рассмотрим вопрос о векторе J. По определению, J = -Π • J_в. Для k-той компоненты вектора:

J = - [π_k1, π_k2, ... π_kl] • J_в = - [π_k1•j_b1 + π_k2•j_b2 + ... + π_ki•j_bi] = - π_ki•j_bi

Поэтому k-тая компонента вектора J равна сумме задающих токов ветвей, причем компонента берется со знаком «-», если ток совпадает по направлению с сечением схемы, и «+», если ток противоположен сечению схемы.

Сложность матрицы Y и процесса ее составления существенно определяется выбором главных сечений схемы. Спецификой радиоэлектронных схем является то, что один из узлов схемы обычно принимают за базисный (нулевой), которому присваивается нулевой потенциал. В реальных схемах практически все узлы оказываются связанными теми или иными проводимостями с нулевым. При этом процедура составления матрицы Y существенно упрощается. Главные сечения можно выбрать охватывающими все узлы, кроме базисного, причем каждое главное сечение охватывает только 1 узел. Дерево схемы выбирается состоящим из ветвей, идущих от базисного ко всем узлам схемы. При этом каждое сечение характеризуется своим потенциалом, равным напряжению на соответствующем ребре, т.е. ветви, соединяющей названный узел с базисным. Направления главных сечений выбираются таким образом, чтобы они были направлены наружу.

В соответствии с указанным выше правилом, собственные проводимости сечений будут всегда вычисляться как арифметическая сумма проводимостей ветвей, исходящих из соответствующего узла, взятых со знаком плюс, а взаимные проводимости сечений учитываются со знаком минус, т.к. сечения всегда противоположно направлены.

Для вектора задающих токов схемы правило не изменяется. Со знаком «-» учитываются токи, вытекающие из сечений, со знаком «+» — втекающие. Рассмотрим пример, пусть задана схема, изображенная на рисунке 2.9:

Рис. 2.9. Пример дерева заданной схемы

При указанном выборе дерева схемы матрица проводимости схемы имеет вид:

Вектор задающих токов схемы:

Нами рассмотрены соотношения и правила составления матрицы Y для схем, состоящих только из двухполюсных элементов. Однако реальные элементы электронных цепей многополюсные: например, активные элементы: транзистор, полевой транзистор, операционный усилитель, тиристор, магнитосвязанные элементы с потенциальным объединением обмоток и т.д. Параметры этих элементов также могут быть представлены в матричном описании, что необходимо для расчета схем матричными методами.

Рассмотрим трехполюсник, выводы которого (узлы) обозначены 1', 2', 3' (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Трехполюсник, выводы которого (узлы) обозначены 1', 2', 3'

Выберем направления токов внутрь трехполюсника, а узловые потенциалы отсчитываются от некоторого внешнего узла, так что все узлы трехполюсника равнозначны, и ни один из них не является базисным. Тогда система уравнений трехполюсника в матричном виде имеет вид:

Можно записать ее более компактно в виде:

J' = Y' · U'

Квадратная матрица Y' может быть рассмотрена как обобщенный параметр трехполюсного элемента. Все элементы матрицы имеют размерность проводимости, она называется матрицей проводимости трехполюсника.

Необходимо отметить, что матрица проводимости в указанном виде особенная. Линейно независимыми являются лишь 4 элемента матрицы из 9. Несложно показать [3], что в соответствии с законами Кирхгофа:

Необходимо также отметить, что матрица Y проводимости трехполюсника как правило, несимметрична относительно главной диагонали, так как большинство реальных трехполюсных элементов необратимы. При смене номеров узлов в матрице соответствующим образом меняются строки и столбцы матрицы.

Если один из узлов матрицы подключен к базисному, то можно сформировать неособенную матрицу проводимости трехполюсника Y' путем вычеркивания соответствующего столбца и строки особенной матрицы. Например, если трехполюсник подключен в соответствии со схемой рис. 2.11.

Рис. 2.11. Вариант подключения трехполюсника

то соответствующие уравнения имеют вид:

J' = Y' ● U'

а матрица Y:

В случае, если по каким-то причинам известна лишь неособенная матрица проводимости трехполюсника, то особенную можно сформировать на основании приведенных выше уравнений, вытекающих из законов Кирхгофа:

Возникает вопрос о формировании матрицы проводимости схемы при наличии в ней трехполюсных элементов. Рассмотрим следующий подход к формированию. Вначале исключим трехполюсные элементы из схемы и запишем матрицу проводимости оставшейся части схемы, состоящей теперь только из двухполюсников. Для этого в схеме выберем базисный узел; составим дерево схемы и получим, таким образом, диагонально симметричную матрицу проводимости.

Включение трехполюсников изменит фактически токи узлов (сечений) к которым подключены элементы-трехполюсники. Пусть некоторые узлы схемы p, q и r соединены с узлами 1', 2' и 3' трехполюсника, соответственно. Если бы схема трехполюсников не содержала, то матричное уравнение, записанное в соответствии с методом узловых потенциалов:

J = Y ● U,

означало бы компактную запись уравнений вида:

Теперь, когда токи узлов p, q и r изменились, для них можно записать уравнения в виде:

Здесь токи узлов j₁', j₂', j₃' определяются равенствами, описывающими трехполюсник в матричном виде:

Если заменить потенциалы u₁', u₂', и u₃' на эквивалентные u_p, u_q, и u_r, получим:

Таким образом, вектор задающих токов J для схемы, содержащей трехполюсники, записывается аналогичным образом соответствующему вектору для схемы, трехполюсников не содержащих. Матрица проводимости схемы меняется: к элементам матрицы, записанной без учета трехполюсников на пересечении строк и столбцов с номерами узлов, соответствующих точкам подключения трехполюсника прибавляются соответствующие элементы матрицы проводимости трехполюсника. Если заменить номера узлов трехполюсника 1', 2' и 3' на номера p, q, r то остается лишь дописать соответствующие элементы Y в матрицу проводимости Y в виде слагаемых:

Если один из узлов схемы соединен с базисным, то этот узел не учитывается при составлении матрицы проводимости схемы Y, а соответствующие элементы матрицы Y' не включаются в таблицу в виде слагаемых.

Активные элементы электронной техники: транзисторы, операционные усилители, в эквивалентной схеме могут быть представлены как зависимые источники тока или напряжения, отображающие их усилительные свойства. Возникает вопрос о матричном описании схем с такими элементами.

Во-первых, будем рассматривать лишь зависимые источники тока, управляемые напряжением, т.к. этот вид зависимых источников наиболее просто включается в матричное описание (другие типы зависимых источников; в принципе, могут быть преобразованы в указанный, либо использованы при другом подходе к описанию схем — в виде гибридных матриц).

Во-вторых, используем описанный выше подход, когда вначале при составлении матрицы Y все зависимые источники из схемы исключены. При этом из оставшихся двухполюсных элементов образуется диагонально симметричная матрица Y_o, для которой справедливо соотношение:

J₀ = Y₀ • U.