СОДЕРЖАНИЕ

МАТРИЧНО-ВЕКТОРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ СХЕМ

Для расчета простых схем ранее были использованы уравнения в виде законов Кирхгофа, которые формулируются следующим образом:

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна 0.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в любой замкнутый контур равна алгебраической сумме ЭДС. Или, что, то же самое, алгебраическая сумма падений напряжений на элементах вдоль любого замкнутого контура равна 0.

При рассмотрении реальных цепей электронных схем возникает необходимость работы с матричным описанием соотношений для элементов цепей. Рассмотрим ветвь, состоящую из резистора и источника ЭДС (рис. 2.1):

Рис. 2.1. Ветвь, состоящая из резистора и источника ЭДС

Уравнение закона Ома для ветви имеет вид:

u_B = z_B • i_B + e_B

При записи уравнения необходимо правильно учитывать положительные направления тока и напряжения на элементах схемы.

Предположим, что схема содержит l ветвей, в которых имеются компоненты z и е. Тогда систему уравнений, описывающих схему, можно записать в виде:

Переходя к более удобной матричной форме записи, получим:

U_B = Z_B • I_B + E_B

где U_в, I_в, Е_в матрицы вида:

вектора напряжений ветвей, токов ветвей, ЭДС ветвей, матрица сопротивлений ветвей.

Пусть некоторая ветвь электрической цепи имеет вид (рис. 2.2):

Рис. 2.2. Некоторая ветвь электрической цепи

Ток ветви определяется соотношением:

i_в = y_в • u_в + j_в

В матричном виде, по аналогии с предыдущим, его можно записать в следующем виде:

I_в = Y_в • U_в + J_в

Здесь J_в — вектор источников тока ветви:

матрица проводимости ветвей:

Приведем последнюю форму записи уравнений к первой. Для этого умножим обе части уравнения на Y_в^-1 слева. Получим:

Y_в¹ I_в = Y_в¹ Y_в • U_в + Y_в¹ J_в

U_в = Y_в¹ • I_в - Y_в^-1 J_в

Y_в^-1 = Z_в; -Y_в^-1 •J_в = E_в

U_в = Z_в • I_в + E_в

Последнее соотношение говорит об идентичности записи уравнений по закону Ома для участков цепи, содержащих ЭДС, а знак минус в последнем выражении указывает на тот факт, что ЭДС в первой форме представления направлена против тока во второй форме.

Для определения режима в схеме из I ветвей необходимо записать 2I уравнений. Приведенные записи по законам Ома дают лишь I уравнений, недостающие I уравнений необходимо найти из 1-го и 2-го законов Кирхгофа.

Рассмотрим некоторую произвольную схему, причем, т.к. нам безразлично пока, какие элементы входят в ее ветви, будем обозначать каждую ветвь линией, соединяющей соответствующие узлы — точки на схеме. Пусть изображенная таким образом скелетная схема имеет вид рис. 2.3.

Рис. 2.3. Произвольная скелетная схема

В схеме имеется 5 узлов и 8 ветвей. Выберем положительные направления токов ветвей.

Построим совокупность ветвей, которые не образуют замкнутого контура и связана со всеми узлами схемы, например (см. рис. 2.4).

Рис. 2.4. Схема совокупности ветвей, которые не образуют замкнутого контура и связаны со всеми узлами схемы

Таких совокупностей может быть несколько. Они называются деревом схемы. Ветви дерева называются ребрами; ветви, не входящие в дерево — хордами.

Так как все узлы схемы связаны между собой совокупностью ребер схемы, то число независимых напряжений в схеме равно числу ребер выбранного дерева. В то же время нельзя записать ни одного уравнения по 2 закону Кирхгофа, в которые входили бы только напряжения ребер, т.к. любой замкнутый контур образуется хотя бы одной хордой. Таким образом, напряжения на хордах могут быть определены, исходя из второго закона Кирхгофа.

В схеме можно выделить несколько контуров для записи 2-го закона Кирхгофа. Выделим среди них только те, которые проходят только через одну хорду, а остальные - ребра. Такие контура получили названия главных контуров. Направления главных контуров определяются совпадающими с направлениями тока единственной хорды, которая входит в них. Возьмем за основу дерево выбранной скелетной схемы вида рис. 2.5.

Рис. 2.5. Дерево выбранной скелетной схемы для главных контуров совпадающих с направлениями тока единственной хорды, которая входит в них

Тогда главные контура, число которых равно числу хорд σ = 4, имеют вид, изображенный на рис. 2.5. Число уравнений, записанных по 2 закону Кирхгофа равное числу хорд, равно σ. Из них можно выразить напряжения хорд через напряжения ребер, которые являются независимыми.

С другой стороны, токи всех ребер дерева можно всегда выразить через токи хорд. Это следует из того, что всегда можно выбрать такое сечение схемы, в которые входит лишь одно ребро, т.к. они, по определению, не образуют замкнутых контуров. Такие сечения схемы называются главными сечениями, число их равно числу ребер и обозначается ν. Для нашего случая имеем дерево и сечения вида рис. 2.6.

Рис. 2.6. Дерево и сечения, где направление главного сечения совпадает с направлением тока единственного ребра

При этом направление главного сечения совпадает с направлением тока единственного ребра.

По первому закону Кирхгофа токи ребер выражаются через токи хорд, которые являются независимыми, а число уравнений по 1-му закону Кирхгофа равно числу ребер ν.

Таким образом, общее число уравнений, составленных по 1-му и 2-ому законам Кирхгофа, равно: ν + σ = I, т.е. числу ветвей схемы. Таким образом, в принципе, система I уравнений, записанная по закону Ома для схемы в матричном виде, дополнена I уравнениями по законам Кирхгофа, т.е. принципиально создается возможность ее решения, т.к. имеется система 2I уравнений с 2I неизвестными.

Возникает вопрос о практическом подходе к составлению системы уравнений по законам Кирхгофа

Введем понятие матрицы главных контуров Γ и главных сечений Π. Матрица главных контуров - прямоугольная матрица размером [σ, Ι] (первый индекс - номер строки, второй номер столбца), в которой для каждого контура отведена строка, а для каждой ветви - столбец. В пересечении k-той строки и s-того столбца записывается Г_ks=+1, если k-тый контур проходит через s-тую ветвь и совпадает с ней по направлению; элемент Г_ks=-1, если s-тая ветвь проходит через k-тый контур и противоположна с ним по направлению, и, наконец, элемент Г_ks=0, если в контур k s-тая ветвь не входит.

Рассмотрим матрицу главных контуров для нашего примера:

Ранее нами был введен вектор напряжений на ветвях U_в размера [Ι,1]. Если теперь перемножить матрицу Γ на вектор U_в, то получим систему уравнений по второму закону Кирхгофа в виде:

Г • U_в = 0

Скалярная запись последнего уравнения даст σ скалярных уравнений по второму закону Кирхгофа.

Рассмотрим способ составления уравнений по 1-му закону Кирхгофа. Определим матрицу главных сечений Π размера [ν,Ι], в которой каждому главному сечению отведена строка, а каждой ветви - столбец.

Правило составления матрицы Π аналогично: элемент π_ks = 1 если k-тое сечений включает в себя s-тую ветвь и направления их совпадают, элемент π_ks = -1; если направления сечения и ветви противоположны, и, наконец, элемент π_ks = 0, если сечение k не включает в себя s-тую ветвь.

Перемножив матрицу Π на вектор токов ветвей I_в, получим матричное уравнение по 1-му закону Кирхгофа.

В скалярной форме записи, указанное уравнение представляет собой систему ν алгебраических уравнений по 1-му закону Кирхгофа.

П • I_в = 0

Таким образом, последние полученные нами уравнения в совокупности с уравнениями закона Ома дают систему 2Ι уравнений, описывающих рассматриваемую схему.

Решение полученных 2Ι скалярных уравнений, или матричных уравнений вида:

достаточно трудоемко. Рассмотрим возможность приведения его к более удобной форме и сокращению числа переменных в уравнениях.