СОДЕРЖАНИЕ

МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Введем понятие вектора-столбца контурных токов I. Размер вектора [σ,1], он имеет вид:

Элементы матрицы Γ показывают, как k-тый контур входит в s-тую ветвь схемы.

Очевидно, матрицу Γ можно использовать для связи величин контурных токов с токами ветвей. Для этого необходимо выполнить умножение матрицы Г на вектор l. Для этого, очевидно, необходимо транспонировать матрицу Г заменив индексы у элементов местами: [Г_ij]_t = [Г_ji]. Теперь матрица Г_t имеет размер [l, σ], тогда можно осуществлять умножение:

Г_t • I = I_в

Последнее уравнение отображает зависимость Ι токов ветвей от σ контурных токов. Выберем последние в качестве независимых переменных, т.е. будем искать контурные токи, протекающие, по определению, через хорды схемы.

Рассмотрим уравнение по закону Ома в виде:

U_в = Z_в • I_в + E_в

Подставим в это уравнение значение I_в, равное Г_t·I. Получим:

U_в = Z_в • Г_t • I + E_в

Умножим последнее равенство на матрицу контуров Г слева. Получим:

Г_t • U_в = Г • Z_в • Г_t • I + Г • E_в

По второму закону Кирхгофа Г · U_в = 0, тогда введем соответствующие упрощения:

Г • Z_в • Г_t = Z Г • E_в = - E => Z • I = E

Рассмотрим размерность полученных выражений:

[Г_t] = [l, σ], Z_в = [l, l]

[Г_t• Z_в] = [l, σ], Г = [σ, l] => Z = [σ, σ]

Таким образом, матрица Z - квадратная матрица размера [σ, σ], которая получила название матрицы сопротивлений схемы:

Вектор E имеет размерность:

Г = [σ, l], E_в = [l, 1] => E = [σ, 1]

Вектор E - вектор э.д.с. схемы.

Нахождение Z и E не представляет проблем, т.к. все компоненты этих матриц известны. Таким образом, мы приходим к матричному уравнению вида соответствующему σ скалярных уравнений, решение которых можно осуществить, обратив матрицу Z:

I = Z^-1 • E

Z • I = E,

Таким образом, число скалярных уравнений или порядок векторного уравнения снижен с 2Ι до σ. Принципиальных трудностей при решении уравнения нет.

На практике, особенно при решении уравнений для реальных электрических схем, получил большее распространение метод узловых потенциалов в матричном виде, который в ряде случаев более удобен.